Je ne suis ni mathématicien ni professeur donc ça risque de ne pas être très clair et bourré d'inexactitudes.
Les ondelettes sont utilisées dans le traitement du signal et peuvent servir à l'analyser, le filtrer, le compresser...
Pour ceux qui font un peu de traitement de signal, il s'agit d'un concept analogue à la transformée de Fourrier.
La transformée de Fourrier décompose un signal en une série de sinusoïdales.
La transformée en ondelettes décompose un signal en une série d'ondelettes ayant toutes la même forme (mais plus ou moins dilatées).
Une ondelette étant une fonction qui fait une ou plusieurs "vagues" autour de l'axe des abscisses et qui tend rapidement vers zéro quand x tend vers plus ou moins l'infini.
Pour comprendre l'utilité des ondelettes, il faut d'abord parler d'analyse de signaux avec la transformée de Fourrier.
La transformée de Fourrier fonctionne à la base sur des signaux continus. Or sur ordinateur, on ne peut pas travailler des signaux continus mais des signaux discrets (des séries de valeurs). L'algorithme le plus connu implémentant la transformée de Fourrier sur des signaux discrets s'appelle Fast Fourrier Transform (FFT).
Prenons l'exemple de l'application d'une FFT sur une série de 32 valeurs composées de 2 sinusoïdales.
Pour i variant de 0 à 32 (les puissances de 2 sont préférables):
série = 4 * sin(2*PI * i / 32) + 1 * sin(8*PI * i / 32)
En appliquant la FFT sur cette série, vous obtiendrez une nouvelle série de 32 valeurs (ce seront des nombres complexes).
En affichant les modules de cette série complexe, vous observerez 4 piques aux indices 1, 4, 28 et 31. Le grand pique à l'indice 1 correspond au sinus d'amplitude 4. Il ne comporte qu'une seule période (0 à 2 PI) dans la série.
Le petit pique à l'indice 4 correspond au sinus d'amplitude 1. Il comporte 4 périodes (0 à 8 PI) dans la série.
Les autres piques correspondent à des fréquences négatives. Je n'en parle pas par soucis de simplicité.
On dit que la FFT permet de passer un signal du domaine temporelle au domaine fréquentielle.
Ainsi, en imaginant que notre signal de départ est échantillonné à 32 Hz (32 valeurs par seconde), le sinus d'amplitude 4 aurait une fréquence d'un Hertz (pique en position 1 sur le signal de sortie) et le sinus d'amplitude 1 aurait une fréquence de 4 Hertz (pique en position 4 sur le signal de sortie).
Pour aujourd'hui, je m'arrête là. Si les FFT ne sont pas claires pour vous, n'hésitez pas à poser vos questions.
Dans les messages à suivre, je parlerai de FFT à fenêtre glissante et de spectrogramme.
C'est, je pense, une étape essentielle pour mieux comprendre par la suite les ondelettes et leur intérêt.