Arbitrage ? Démontrez moi que j'ai tort

grapg de payoff

Bonjour à tous,

En cette journée ou les marchés sont fermés je me suis amusé à une petite simulation à base d'option.

Le postulat de départ est que le cours du sous jacent est de 100 euros.

On va acheter un call à échéance 7 ans au prix d'exercice de 110 euros. D'après la formule de black and sholes ce call devrait valoir environ 31 euros.

Ensuite on va vendre 3 call à échéance 7 ans toujours au prix de 200 euros cette fois. D'après la formule de black and sholes le prix de ce call devrait être de 12 euros environ.

Maintenant si on dessine le graph de payoff, on obtient:

grapg de payoff

C'est bien sur trop simple... Enfin je pense.

Qu'en pensez-vous ?

Bonsoir flosx1
Aurons-nous la chance de mieux te connaitre?
presentation-des-membres.html.

Déjà,

D'après la formule de black and sholes ce call devrait valoir environ 31 euros.

La formule de blackscholes dépend de la volatilité du marché, à moins que tu connaisse celle ci, tu ne peux pas pondre un prix, ça n'a tout simplement aucun sens. (elle établie en fait une bijection entre le prix et la volatilité)

Revenons à ton portefeuille, tu as donc:

• Acheté un call de strike 110e, au prix de 31e. (-31e)
• Vendu 3 call de strile 200e, au prix de 12e chacune = 12 * 3 =36e

La valeur de ce portefeuille à la date 0 est donc de 36 - 31 = 5e

A l'échéance de l'option (au bout de 7 ans), si S est le prix de ton actif, ton payoff c'est

• 0 si S < 110
• S - 110 si 110 < S < 200
• (S - 110) - 3 * (S-200) si 200 < S

Tu vois viens que tu peux sortir gagnant comme perdant en ayant ce portefeuille. Si S=300 > 200 par exemple tu auras perdu 190-3*100=-110e > 5e par exemple. Ce n'est donc pas une opportunité d'arbitrage.
Une opportunité d'arbitrage c'est quand tu trouves une stratégie qui te donne un payoff supérieur à ton investissement à tous les coups, ce qui n'est pas le cas ici.

La volatilité utilisé ici est de 26%, qui correspond à une volatilité standard su 7 année, il aurait fallu le préciser je le concède.

Oui bien sur que à partir de 200e le pay off diminue mais ça fait déjà une énorme augmentation, les probabilités sont largement avec toi.

C'est une démonstration standard mais elle s'applique sur des horizons de temps beaucoup plus court.

Personne n'a jamais essayé de combiner plusieurs options afin de maximummiser le payoff tout en diminuant le risque ?

Le terme "arbitrage" était volontairement aguicheur, je sais bien que ce n'en est pas un.

La définition exact d'un arbitrage est d'ailleurs le fait de partir avec zero euros et d'emprunté de l'argent pour obtenir un payoff assuré.

PS: Oui je vais me présenter.

D'ailleurs puisque tu as l'air de t'y connaitre sur le sujet.

Admettons qu'on a un produit structuré X qui garantit 95% du capital à 7 ans.
Ce produit structuré offre un rendement jusqu'à 195%

Si on prend le même exemple, avec un sous jacent à 100e.
La banque va offrir ce capital partiellement garanti en plaçant les 100e du client à un taux qui permettra d'obtenir 100e dans 7 ans. La marge de la banque est donc de 5%.

Maintenant la ou j'ai plus de mal à comprendre c'est comment la banque peut proposer 195% de rendement.
En effet si elle achète un call, elle ne pourra pas accompagner parfaitement la hausse du sous jacent (à cause du prix de l'option).

Comment elle fait pour contrer ça ? Par quelle combinaison d'option ?

J'ai trouvé un début de réponse.

La banque achète un call au prix d'exercice de 58e, le prix de l'option toujours d'après les même hypothèses (volatilité de 26%) est de 56e.

Dans le même temps, elle vend un call au prix d'exercice de 200e qui lui rapporte 14e (le prix de l'option d'après black and sholes).

Le graph du pay off est:

Donc ça a l'air ok, on a bien nos 100e quand le cours atteint 200. Et on a bien notre premier euros à partir de 101.

Cependant, et c'est la que ça coince de 0 à 60 euros (prix du sous jacent) on est à -42e , or pour récupérer 100 euros au bout de 7 ans il faut placer environ 67 euros, il reste donc 33 euros seulement à la banque pour créer le produit.

Il y a donc un problème sachant que le call coute 56e, et que 32 euros plus 14 euros (argent qu'on reçoit de la vente du call) font 46 euros.

Il manque donc 10e, de plus la banque perd 42 euros pendant une longue période, elle est donc exposé à un risque ce qui ne devrait pas être le cas.

Je ne vois pourtant pas d'autres possibilité pour "construire" ce produit structuré.

Tu as pris en compte l'effet temps qui joue contre toi ?

En règle geneeale le temps "bouffe" la PV. C'est la seule variable que l'on ne maîtrise pas. Est quelque soit le montage réalisé il faut toujours que ka volatilité accélère ... Sauf que c'est comme tout elle fait des vagues

Tu as pris en compte l'effet temps qui joue contre toi ?

Oui la formule de black and sholes prend en compte le temps.

Plus la variable augmente, plus le prix de l'option augmente et vice versa.

Oui bien sur que à partir de 200e le pay off diminue mais ça fait déjà une énorme augmentation, les probabilités sont largement avec toi.

Si tu connais le rendement de ton actif, tu sais qu'il est pas très grand, oui tu seras gagnant en moyenne.

La définition exact d'un arbitrage est d'ailleurs le fait de partir avec zero euros et d'emprunté de l'argent pour obtenir un payoff assuré.

Tu peux montrer que les deux définitions coincident (à condition de considerer les payoff actualisé, mais ici on a pas pris en compte les taux d'interet)

Tu as pris en compte l'effet temps qui joue contre toi ?

Oui la formule de black and sholes prend en compte le temps.
Plus la variable augmente, plus le prix de l'option augmente et vice versa.

tu voulais dire le contraire j'imagine, plus le temps augmente, la valeur du call se déprécie.

Il faut aussi garder en tête que le modèle de B&S est très idéaliste, la volatilité est tout sauf constante.


Sinon pour la banque, la procédure de couverture (ou de hedging) est un peu plus complexe que ça, jette un coup d'oeil au http://www2.fiu.edu/~barberj/s-chpt15.pdf.
Dans ton message, tu essaye de proposer une couverture statique ( par opposition à une couverture dynamique qui rebalance le portefeuille en "continu"), ie acheter des actif au début et puis attendre que ça compense les pertes eventuelles sur le call vendu. Cette approche est effectivement insuffisante.