Modèle Black and Scholes : Valorisation des options

Qu’est-ce que le Black and Scholes ?

Black and Scholes est un modèle datant de 1973, créé par le mathématicien américain Fischer Black et l’économiste canadien Myron Scholes, qui permet de valoriser une option financière.

Dans ce modèle, il faut avoir plusieurs éléments en main comme la valeur de l’action, le temps jusqu’à l’échéance de l’option, le strike ou prix d’exercice de l’option , le taux d’intérêt sans risque qui correspond au taux d’un placement sans risque de même durée que l’option, ainsi que la volatilité de l’action.

Le modèle Black and Scholes en résumé

Le modèle Black and Scholes est une formule qui donne le prix théorique d’une option européenne à partir de cinq données : le cours du sous-jacent, le prix d’exercice, la durée restant à courir, le taux sans risque et la volatilité. Il a été publié en 1973 dans le Journal of Political Economy, sous le titre « The Pricing of Options and Corporate Liabilities ». Plus de cinquante ans après, il reste la référence à partir de laquelle les professionnels cotent et comparent les options.

Robert Merton en a publié la même année une démonstration et des extensions ; on parle aussi de modèle Black-Scholes-Merton. En 1997, Myron Scholes et Robert Merton ont reçu le prix d’économie en mémoire d’Alfred Nobel pour cette méthode d’évaluation des produits dérivés. Fischer Black, mort en 1995, n’a pu le recevoir, ce prix n’étant pas attribué à titre posthume.

La coïncidence des dates n’est pas anodine : le Chicago Board Options Exchange, première bourse d’options standardisées, a ouvert le 26 avril 1973. Les traders disposaient pour la première fois à la fois d’un marché organisé et d’une méthode de calcul du prix.

La formule, en clair

Notons S le cours du sous-jacent, K le prix d’exercice, T la durée restant à courir en années, r le taux sans risque et σ (sigma) la volatilité annuelle. On calcule d’abord deux nombres :

• d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2) × T] / (σ × √T)
• d2 = d1 − σ × √T

Le prix du call vaut alors S × N(d1) − K × exp(−rT) × N(d2), où N est la fonction de répartition de la loi normale (la probabilité qu’une variable normale centrée réduite soit inférieure à la valeur indiquée), et exp(−rT) le facteur d’actualisation. Le put s’en déduit par la parité call-put : put = call − S + K × exp(−rT).

Le premier terme est ce que l’on reçoit en moyenne si l’option est exercée, le second ce que l’on paie, actualisé et pondéré par la probabilité d’exercice.

Exemple chiffré

Imaginons une action à 100 €, une option d’échéance un an et de prix d’exercice 100 €, un taux sans risque de 3 % et une volatilité de 20 %.

• d1 = [ln(1) + (0,03 + 0,02) × 1] / 0,20 = 0,05 / 0,20 = 0,25 ; d2 = 0,25 − 0,20 = 0,05.
• N(0,25) ≈ 0,5987 et N(0,05) ≈ 0,5199 ; exp(−0,03) ≈ 0,9704.
• Call = 100 × 0,5987 − 100 × 0,9704 × 0,5199 ≈ 9,41 €.
• Put = 9,41 − 100 + 97,04 ≈ 6,46 €.

Toutes choses égales par ailleurs, une volatilité portée à 30 % fait monter le call à environ 13,28 € ; une échéance ramenée à six mois le fait baisser à environ 6,37 €.

Ce que fait chaque paramètre

La sensibilité du prix à chacun de ces paramètres porte un nom : le delta pour le cours du sous-jacent, le gamma pour la variation du delta, le vega pour la volatilité, le thêta pour le temps, le rhô pour le taux. Ce sont les « grecques », que les plateformes calculent en général avec ce modèle.

La volatilité implicite

Des cinq paramètres, quatre sont connus. La volatilité future, elle, ne l’est pas. En pratique, on fait souvent le chemin inverse : on part du prix de l’option sur le marché et on cherche la volatilité qui, introduite dans la formule, redonne ce prix. C’est la volatilité implicite, ce que le marché anticipe. Les traders d’options raisonnent davantage en volatilité qu’en prix. Le VIX applique la même idée aux options sur le S&P 500.

Hypothèses et limites

Le modèle suppose une volatilité constante, des rendements qui suivent une loi normale (des cours log-normaux), une négociation continue sans frais, la possibilité d’emprunter et de prêter au taux sans risque, l’absence de dividende pendant la vie de l’option et un exercice à l’échéance seulement. Aucune de ces hypothèses n’est tout à fait vraie.

Les marchés connaissent des écarts brutaux bien plus fréquents que ne le prévoit la loi normale. Depuis le krach d’octobre 1987, la volatilité implicite varie d’ailleurs selon le prix d’exercice, ce que l’on appelle le « smile » ou le « skew » de volatilité : sur les indices actions, les puts très hors de la monnaie se paient plus cher que ce qu’indiquerait une volatilité unique. Les dividendes se traitent par une extension du modèle, et les options américaines, exerçables à tout moment, demandent d’autres méthodes, comme les arbres binomiaux.

Questions fréquentes

À quoi sert le modèle Black and Scholes ?

À calculer le prix théorique d’une option européenne, à mesurer ses sensibilités (les grecques) et, en sens inverse, à déduire la volatilité implicite du prix observé.

Qui a inventé le modèle Black and Scholes ?

Fischer Black et Myron Scholes, qui l’ont publié en 1973, avec l’apport de Robert Merton. Scholes et Merton ont reçu le prix Nobel d’économie en 1997.

Le modèle fonctionne-t-il pour les options américaines ?

Pas directement, car il suppose un exercice à l’échéance. Pour un call sur une action qui ne verse pas de dividende, l’exercice anticipé n’est jamais avantageux et le prix est le même. Dans les autres cas, on utilise d’autres méthodes.

Pourquoi le prix du marché diffère-t-il du prix calculé ?

Parce que la volatilité retenue par le marché n’est pas celle que l’on a supposée, et que les hypothèses du modèle ne sont qu’approchées. Le prix de marché fait foi ; le modèle sert d’échelle de comparaison.

Pour aller plus loin

• Le put
• La valeur temps d’une option
• L’option asiatique

Lexique boursier : toutes les définitions, de A à Z.