Qu’est-ce que la formule de Gordon et Shapiro ?
La méthode ou formule de Gordon et Shapiro fait partie des mathématiques financières. Ce calcul permet d’estimer la valeur actuelle d’une action en fonction des dividendes actualisés.
La formule est la suivante : V = D / (Kc – G)
V correspond à la valeur que l’on estime. D correspond au dividende attendu l’année prochaine. Kc correspond au rendement espéré. G correspond au taux de croissance du dividende.
Cette formule calcule donc la valeur d’une action par la somme actualisée de ses futurs dividendes.
La formule de Gordon et Shapiro en résumé
La formule de Gordon et Shapiro estime la valeur théorique d’une action en supposant que son dividende augmentera chaque année au même rythme, indéfiniment. La valeur est alors égale au dividende attendu l’an prochain, divisé par l’écart entre le rendement exigé par l’investisseur et le taux de croissance du dividende. C’est la version la plus simple de la méthode d’actualisation des dividendes.
Elle porte le nom de Myron J. Gordon et Eli Shapiro, qui l’ont publiée en 1956 dans la revue Management Science, sous le titre « Capital Equipment Analysis : The Required Rate of Profit ». L’idée d’évaluer une action par ses dividendes futurs remonte à John Burr Williams, dans The Theory of Investment Value (1938).
D’où vient la formule
La valeur d’une action est la somme de tous ses dividendes futurs, chacun ramené à sa valeur d’aujourd’hui (actualisé) au taux de rendement exigé Kc. Si le dividende de l’an prochain vaut D et progresse ensuite de G par an, les dividendes actualisés forment une suite qui diminue d’un facteur (1 + G) / (1 + Kc) d’une année à l’autre. Tant que G reste inférieur à Kc, cette somme infinie converge, et elle vaut exactement D / (Kc − G).
Si l’on connaît seulement le dernier dividende versé, D0, on calcule d’abord celui de l’an prochain : D = D0 × (1 + G).
Un exemple chiffré
Imaginons une société qui vient de verser un dividende de 2,91 € par action. On estime que ce dividende progressera de 3 % par an, et l’on exige un rendement de 8 % pour détenir cette action.
- Dividende attendu l’an prochain : 2,91 × 1,03 ≈ 3,00 €.
- Valeur théorique : 3,00 / (0,08 − 0,03) = 3 / 0,05 = 60 €.
Si l’action cote 50 €, le modèle la juge sous-évaluée ; si elle cote 75 €, il la juge chère. Tout dépend pourtant des hypothèses, comme le montre le tableau suivant, calculé avec le même dividende de 3 € :
| Rendement exigé | Croissance 2 % | Croissance 3 % | Croissance 4 % |
|---|---|---|---|
| 7 % | 60,00 € | 75,00 € | 100,00 € |
| 8 % | 50,00 € | 60,00 € | 75,00 € |
| 9 % | 42,86 € | 50,00 € | 60,00 € |
Un seul point de croissance en plus, de 3 % à 4 %, fait passer la valeur de 60 € à 75 €, soit 25 % de plus. Plus l’écart entre Kc et G est faible, plus la valeur devient sensible à la moindre erreur d’estimation.
L’usage inverse : le rendement que promet le cours
La formule peut se retourner : Kc = D / P + G, où P est le cours de bourse. Le rendement attendu d’une action est la somme de son rendement du dividende et de la croissance de ce dividende. Une action à 50 € qui doit verser 2 € l’an prochain, avec une croissance attendue de 4 % par an, promet un rendement d’environ 2/50 + 4 % = 8 % par an. Les analystes s’en servent pour estimer le rendement implicite d’un marché et le comparer aux taux des obligations.
Elle éclaire aussi le PER : si une société distribue une part d de son bénéfice, le PER théorique vaut d / (Kc − G). Avec la moitié du bénéfice distribuée, un rendement exigé de 8 % et une croissance de 3 %, on obtient un PER de 0,5 / 0,05 = 10.
Les limites du modèle
La croissance constante et éternelle est une hypothèse forte, raisonnable pour une grande société mature et régulière, beaucoup moins pour une entreprise jeune ou cyclique.
Le modèle ne fonctionne pas si G atteint ou dépasse Kc : la valeur devient infinie ou négative, ce qui n’a aucun sens. Pour les sociétés en forte croissance, on utilise des modèles à plusieurs phases : une croissance rapide pendant quelques années, puis une croissance stable à laquelle on applique la formule de Gordon et Shapiro.
Les sociétés qui ne versent pas de dividende, ou qui rémunèrent leurs actionnaires surtout par des rachats d’actions, échappent au modèle tel quel. On le transpose alors aux flux de trésorerie disponibles.
Questions fréquentes
Que représente Kc dans la formule de Gordon et Shapiro ?
Le taux de rendement exigé par l’actionnaire, ou coût des fonds propres : le taux sans risque augmenté d’une prime pour le risque de l’action.
Pourquoi Kc doit-il être supérieur à G ?
Parce que sinon la somme des dividendes actualisés ne converge pas : la formule donnerait une valeur infinie ou négative.
Faut-il prendre le dernier dividende ou le prochain ?
Le prochain. Si l’on part du dernier dividende versé, on le multiplie d’abord par (1 + G).
La formule de Gordon et Shapiro est-elle fiable ?
Elle donne un ordre de grandeur cohérent pour des sociétés stables qui versent un dividende régulier. Son résultat dépend tellement des hypothèses qu’il vaut mieux l’utiliser comme une fourchette que comme un prix exact.
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Historien de formation, j’aborde l’économie en praticien : depuis 1994, je vois chaque jour sur mes écrans ce que les décisions des banques centrales et des États font aux prix. J’essaie d’expliquer ce qui se joue derrière les chiffres, sans jargon et sans promesse.
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