John Nash : biographie, équilibre de Nash et héritage

Qui était John Nash ?

John Nash (1928-2015) est un mathématicien et économiste américain, prix Nobel d’économie en 1994 pour l’« équilibre de Nash », la notion qui permet d’analyser toute situation où chacun doit anticiper la réaction des autres. Sa thèse de doctorat, déposée à Princeton en mai 1950, alors qu’il n’avait que 21 ans, tient en moins de trente pages et a donné à la théorie des jeux son concept central.

Nash n’a jamais été économiste de métier : il était mathématicien, et ses travaux sur la géométrie et les équations aux dérivées partielles lui ont valu en 2015 le prix Abel, l’une des plus hautes distinctions en mathématiques. Sa vie a aussi été marquée par une longue maladie psychique, la schizophrénie, qu’il a lui-même racontée publiquement, puis par un rétablissement progressif. Le livre de Sylvia Nasar et le film Un homme d’exception l’ont rendu célèbre auprès du grand public.

John Nash en résumé

John Nash a montré qu’on peut définir un point d’équilibre dans n’importe quel jeu, quel que soit le nombre de joueurs et quels que soient leurs objectifs : une situation où aucun joueur n’a intérêt à changer seul de stratégie, compte tenu de ce que font les autres. Il a démontré qu’un tel équilibre existe toujours dans les jeux finis, à condition d’admettre des stratégies mixtes, c’est-à-dire des choix tirés au hasard selon des probabilités. Il a aussi distingué jeux coopératifs et non coopératifs et proposé une solution au problème de la négociation. Ces outils servent à étudier la concurrence, les accords internationaux ou la crédibilité des banques centrales.

• Naissance : 13 juin 1928, à Bluefield (Virginie-Occidentale, États-Unis)
• Mort : 23 mai 2015, près de Monroe Township (New Jersey, États-Unis)
• Nationalité : américaine
• Courant : théorie des jeux non coopératifs, mathématiques
• Œuvres principales : « The Bargaining Problem » (1950), Non-Cooperative Games (thèse, 1950 ; article en 1951), « Equilibrium Points in n-Person Games » (1950)
• Distinctions : prix Nobel d’économie 1994 (avec John Harsanyi et Reinhard Selten), prix John von Neumann de théorie (1978), prix Steele (1999), prix Abel 2015 (avec Louis Nirenberg)
• Idée la plus connue : l’équilibre de Nash

De Bluefield à Princeton : un génie précoce, une vie brisée puis reconstruite

John Forbes Nash Jr. naît le 13 juin 1928 à Bluefield, petite ville de Virginie-Occidentale. Son père est ingénieur électricien dans une compagnie d’électricité régionale, sa mère, ancienne institutrice, a enseigné l’anglais et parfois le latin. Dans son autobiographie Nobel, il raconte avoir beaucoup appris seul, notamment dans Men of Mathematics d’E. T. Bell.

Boursier, il entre au Carnegie Institute of Technology de Pittsburgh (l’actuelle université Carnegie Mellon) pour étudier le génie chimique, passe à la chimie, puis aux mathématiques. Il y obtient en 1948 une licence et une maîtrise de mathématiques. C’est un cours d’économie internationale suivi à Carnegie qui lui donne l’idée de son premier article, « The Bargaining Problem », publié dans la revue Econometrica en avril 1950. Son ancien professeur Richard Duffin le recommande à Princeton par une lettre restée fameuse, qui le présente comme un génie des mathématiques. Nash choisit Princeton plutôt que Harvard.

À Princeton, il s’appuie sur la théorie des jeux de John von Neumann et Oskar Morgenstern, exposée dans Theory of Games and Economic Behavior (1944). Sous la direction d’Albert W. Tucker, il soutient en 1950 sa thèse, Non-Cooperative Games, qui paraît en 1951 dans les Annals of Mathematics. Pendant ces années, il invente aussi, indépendamment du Danois Piet Hein qui l’avait publié dès 1942, un jeu de société topologique, le Hex, très joué dans la salle commune du département. Il travaille aussi comme consultant pour la RAND Corporation, centre de recherche lié à la défense américaine.

En 1951, il rejoint le département de mathématiques du Massachusetts Institute of Technology (MIT). Il y produit une œuvre mathématique de premier plan : les théorèmes de plongement des variétés riemanniennes, publiés en 1954 et 1956, et des résultats sur les équations elliptiques et paraboliques obtenus presque en même temps que l’Italien Ennio De Giorgi. En février 1957, il épouse Alicia Lardé, diplômée de physique du MIT, née au Salvador.

Au début de 1959, Nash commence à souffrir de troubles psychiques, diagnostiqués comme une schizophrénie. Il démissionne du MIT au printemps 1959 et connaît plusieurs hospitalisations au cours des années 1960. Le couple divorce en 1963. Dans son autobiographie Nobel, Nash décrit lui-même une longue période de pensée délirante, puis un rejet progressif de ces idées. Après 1970, il n’est plus hospitalisé ; il vit de nouveau auprès d’Alicia, qui l’accueille chez elle à partir de 1970 et veille sur lui pendant de longues années, et retrouve une activité de recherche au milieu des années 1980. Il reçoit le prix Nobel en 1994, devient chercheur senior au département de mathématiques de Princeton et se remarie avec Alicia en 2001. Le 23 mai 2015, de retour d’Oslo où il venait de recevoir le prix Abel, il meurt avec son épouse dans un accident de taxi dans le New Jersey, à 86 ans.

Les idées clés

L’équilibre de Nash. Un équilibre de Nash est une combinaison de stratégies dans laquelle chaque joueur fait le meilleur choix possible compte tenu des choix des autres, de sorte qu’aucun n’a intérêt à changer seul de stratégie. Le communiqué du comité Nobel le résume ainsi : à l’équilibre, les anticipations de tous les joueurs se réalisent et leurs stratégies sont optimales. La notion vaut pour des entreprises, des États ou des individus, quel que soit leur nombre. La fiche du guide sur la théorie des jeux en présente les principales applications.

Un équilibre existe toujours. Nash a démontré que tout jeu comportant un nombre fini de joueurs et de stratégies possède au moins un équilibre, à condition d’autoriser les stratégies mixtes. Aux tirs au but, le gardien qui plongerait toujours du même côté serait vite battu : la meilleure réponse consiste à rendre son choix imprévisible, et l’équilibre se trouve dans un dosage précis de hasard. Ce théorème d’existence a rendu la notion utilisable partout.

Coopératif ou non coopératif. Nash a distingué les jeux coopératifs, où les joueurs peuvent signer des accords qui les engagent, des jeux non coopératifs, où aucun accord ne peut être imposé. Cette distinction éclaire une situation que les économistes rencontrent sans cesse : dans un oligopole, quelques entreprises auraient collectivement intérêt à s’entendre, mais chacune est tentée de trahir l’accord. C’est la fragilité de tout cartel, et c’est aussi la logique de la tragédie des biens communs : l’équilibre peut être mauvais pour tous sans qu’aucun acteur n’ait intérêt à en sortir seul.

La solution de négociation. Dans « The Bargaining Problem » (1950), puis « Two-Person Cooperative Games » (1953), Nash propose une manière de prédire le partage d’un gain entre deux parties qui négocient, à partir de quelques propriétés jugées raisonnables. Il lance aussi ce qu’on appelle le « programme de Nash » : fonder la théorie des jeux coopératifs sur des modèles non coopératifs, c’est-à-dire expliquer les accords par les intérêts de chacun plutôt que de les supposer.

Une œuvre en contexte : la thèse de 1950

En 1950, la théorie des jeux existe déjà, mais elle est incomplète. Le livre de von Neumann et Morgenstern, paru six ans plus tôt, traite surtout des jeux à deux joueurs à somme nulle, où ce que l’un gagne, l’autre le perd, et des coalitions entre joueurs. Or la plupart des situations économiques ne sont pas à somme nulle : deux entreprises peuvent toutes deux gagner ou perdre.

La note de Nash publiée en 1950 dans les Proceedings of the National Academy of Sciences, « Equilibrium Points in n-Person Games », puis sa thèse Non-Cooperative Games, apportent la solution qui manquait, applicable à n’importe quel jeu. Le principe tient en une phrase : chercher les situations où chaque joueur répond au mieux aux autres. La démonstration, elle, mobilise un résultat de topologie, un théorème de point fixe, et établit que de tels points existent toujours dans les jeux finis. La thèse est brève, mais elle déplace la théorie des jeux : au lieu de demander comment des joueurs devraient se partager un gain, elle demande où des joueurs indépendants, chacun poursuivant son intérêt, finissent par s’arrêter.

La consécration vient quarante-quatre ans plus tard, quand l’équilibre de Nash est devenu un outil courant de l’économie industrielle, de l’économie de l’information et de la politique monétaire. Le prix Nobel de 1994 récompense Nash avec John Harsanyi, qui a étendu l’analyse aux jeux où les joueurs connaissent mal les préférences des autres, et Reinhard Selten, qui a affiné l’équilibre pour les jeux qui se déroulent dans le temps.

Les critiques et les débats

Trop d’équilibres. Un jeu peut avoir plusieurs équilibres de Nash, et la théorie ne dit pas toujours lequel sera atteint. Deux conducteurs qui se croisent sont à l’équilibre s’ils roulent tous deux à droite, ou tous deux à gauche : rien dans le calcul ne tranche. Une grande partie de la recherche après Nash, à commencer par celle de Selten, a consisté à écarter les équilibres peu plausibles, par exemple ceux qui reposent sur des menaces qu’aucun joueur n’exécuterait vraiment.

Des joueurs trop rationnels. L’équilibre suppose que chacun calcule correctement et sait que les autres font de même. L’économie comportementale, avec Daniel Kahneman ou Richard Thaler, a montré que les décisions réelles s’écartent souvent de ce modèle de choix rationnel, en particulier quand le jeu est nouveau ou complexe. Les défenseurs de Nash répondent que l’équilibre décrit souvent bien le point où des joueurs aboutissent après apprentissage et répétition, même s’ils ne le calculent pas.

Le mythe et la réalité. Le film Un homme d’exception (2001), réalisé par Ron Howard d’après la biographie de Sylvia Nasar (1998), a remporté quatre Oscars, dont celui du meilleur film. Il prend toutefois des libertés avec les faits, sur sa vie comme sur sa maladie ; Nash a lui-même contesté la façon dont le film présente son traitement. Pour connaître l’homme et l’œuvre, la biographie de Nasar, traduite en français sous le titre Un cerveau d’exception (2002), est plus fiable que l’écran.

Ce qu’il en reste aujourd’hui

L’équilibre de Nash est devenu le langage commun de l’économie dès qu’il y a interaction stratégique. Le comité Nobel citait en 1994 l’analyse des oligopoles, des accords commerciaux et environnementaux, des négociations salariales, de la déréglementation et de la crédibilité des banques centrales.

Nash lui-même s’est intéressé à la monnaie à la fin de sa vie. Sous le nom d’« Ideal Money », il a défendu une monnaie dont la valeur serait arrimée à un indice de prix, plutôt qu’abandonnée à la discrétion des banques centrales, en critiquant les idées monétaires de Keynes et en rapprochant sa position de celle de Friedrich Hayek. Cette partie de son œuvre a eu beaucoup moins d’influence que ses travaux sur les jeux.

Ce que ça change pour un investisseur ou un trader

Nash donne une grille de lecture simple : sur un marché, le bon choix dépend de ce que les autres vont faire, et les autres raisonnent de la même manière. Une banque centrale qui annonce une politique n’est crue que si elle n’a pas intérêt à la renier ensuite ; c’est la question de la cohérence temporelle, directement issue de la théorie des jeux. Lire une conférence de presse de la Fed ou de la BCE, c’est se demander si l’engagement est crédible, pas seulement ce qu’il dit.

La même logique éclaire les accords de producteurs, comme ceux des pays pétroliers : chacun a intérêt à ce que les autres réduisent leur production et à produire lui-même davantage, ce qui rend les quotas fragiles. Elle aide aussi à comprendre pourquoi un marché peut rester longtemps sur un équilibre que chacun juge excessif : personne n’a intérêt à en sortir seul le premier. La théorie ne dit pas quand l’équilibre change, ni dans quel sens ; elle aide à poser les bonnes questions, sans fournir de signal d’achat ou de vente.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que l’équilibre de Nash, en termes simples ?

C’est une situation où chaque participant fait le meilleur choix possible compte tenu des choix des autres, si bien qu’aucun n’a intérêt à changer seul de stratégie. L’équilibre n’est pas forcément bon pour tous : il est seulement stable.

Pourquoi John Nash a-t-il reçu le prix Nobel d’économie ?

John Nash a reçu le prix Nobel d’économie en 1994, avec John Harsanyi et Reinhard Selten, pour leur analyse pionnière des équilibres dans la théorie des jeux non coopératifs. Le prix récompense surtout sa thèse de 1950 et les articles de 1950-1951 où il définit l’équilibre qui porte son nom et démontre son existence.

Le film Un homme d’exception est-il fidèle à la vie de John Nash ?

En partie seulement. Le film de Ron Howard (2001) s’inspire de la biographie de Sylvia Nasar mais simplifie et modifie de nombreux épisodes, y compris sur sa maladie et son traitement, ce que Nash lui-même a relevé.

Quel livre lire sur John Nash ?

La biographie de Sylvia Nasar, Un cerveau d’exception (Calmann-Lévy, 2002 ; titre original A Beautiful Mind, 1998), est la référence.

Pour aller plus loin

• Les grands économistes du guide des théories économiques