Critère de Kelly : la mise optimale, et pourquoi on n’en prend qu’une fraction

Une méthode gagne une fois sur deux et rapporte une fois et demie ce qu’elle perd. Combien du compte faut-il risquer sur chaque opération pour qu’il grossisse le plus vite possible ? Le critère de Kelly répond, au dixième près : 16,7 %. Il ajoute, sans qu’on le lui demande, qu’un trader qui suit ce chiffre verra son compte passer sous la moitié de sa valeur de départ, à un moment ou à un autre, près d’une fois sur deux en cinq cents opérations.

Les deux réponses sont exactes ensemble. C’est ce qui fait du critère de Kelly l’outil le plus cité et le plus mal compris de la gestion du risque : il fixe un plafond, et montre en même temps pourquoi il ne faut pas s’en approcher.

Qu’est-ce que le critère de Kelly ?

Le critère de Kelly est une formule qui donne la fraction du capital à engager sur un pari ou une opération répétés pour maximiser le taux de croissance du capital à long terme ; en trading, pour une méthode qui gagne avec la probabilité W et dont le gain moyen vaut R fois la perte moyenne, cette fraction vaut W − (1 − W) ÷ R. Elle est positive seulement si l’espérance de gain l’est.

La fraction de Kelly se lit comme un risque par opération, la part du capital perdue si le stop est touché ; la taille de position s’en déduit ensuite.

Le critère de Kelly en résumé

Publié en 1956 par John L. Kelly, chercheur des laboratoires Bell, le critère de Kelly donne la part du capital qui maximise la croissance à long terme d’un joueur ou d’un trader disposant d’un avantage. Pour une méthode qui gagne 50 % du temps avec des gains 1,5 fois plus gros que les pertes, il recommande de risquer 16,7 % par opération. Miser davantage réduit la croissance, et la mise double de Kelly la ramène à zéro. Mais la mise de Kelly entière fait passer le compte sous la moitié de sa valeur dans près de la moitié des cas, et suppose une espérance connue exactement. D’où la pratique du demi-Kelly, qui garde 75 % de la croissance avec bien moins de baisses, ou de fractions plus faibles encore.

D’où vient le critère de Kelly ?

D’un problème de télécommunications. En juillet 1956, John L. Kelly publie dans le Bell System Technical Journal un article intitulé « A New Interpretation of Information Rate ». Il y imagine un parieur qui reçoit, par une ligne privée, le résultat de matchs de base-ball avant qu’il ne soit public, et qui peut encore parier à égalité. Si la ligne est parfaite, il doit tout miser. Si elle transmet parfois une erreur, combien doit-il engager à chaque match ?

Kelly montre que le parieur qui maximise l’espérance de son capital mise tout à chaque coup, et finit ruiné à coup sûr s’il continue indéfiniment. Celui qui maximise l’espérance du logarithme de son capital obtient la croissance la plus rapide à long terme, un taux qui coïncide avec le débit d’information du canal défini par Claude Shannon en 1948. L’idée de raisonner sur le logarithme de la richesse n’était pas neuve : Daniel Bernoulli l’avait proposée en 1738 pour résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg. Kelly lui donne une portée pratique.

Le mathématicien Edward Thorp l’applique ensuite au blackjack, puis à la gestion de fonds ; William Poundstone en raconte l’histoire dans Fortune’s Formula.

Comment calculer le critère de Kelly en trading ?

Avec deux chiffres tirés de l’historique de la méthode : le taux de réussite W et le ratio gain/perte R, gain moyen divisé par perte moyenne. La fraction de Kelly vaut W − (1 − W) ÷ R.

Pour une méthode à 50 % de réussite et R = 1,5 : 0,5 − 0,5 ÷ 1,5 = 0,167, soit 16,7 % du capital risqué par opération. Pour une méthode qui gagne 45 % du temps avec R = 1,1, le résultat est négatif : Kelly dit alors de ne rien miser, seule réponse juste à une espérance négative.

Des méthodes ordinaires, avec une espérance de 0,1 à 0,25 fois le risque, conduisent à des mises de 7 % à 20 % du capital par opération, cinq à vingt fois la règle du 1 %. Kelly ne vise que la croissance ; il ne regarde pas le chemin.

Que se passe-t-il si l’on mise plus ou moins que le critère de Kelly ?

Miser moins réduit un peu la croissance et beaucoup le risque. Miser plus réduit à la fois la croissance et la sécurité : deux fois la mise de Kelly ramène la croissance à zéro, comme l’ont rappelé Leonard MacLean, Edward Thorp et William Ziemba en 2010, et au-delà le capital décroît alors même que la méthode gagne. Le tableau reprend la méthode à 50 % de réussite et R = 1,5, sur 500 opérations.

Le demi-Kelly et la mise d’une fois et demie Kelly donnent la même croissance, mais le premier traverse une baisse médiane de 68 %, le second de 99,5 %. Et la mise de Kelly entière, la « meilleure » au sens de la formule, impose dans la moitié des cas une baisse de 93 % depuis un sommet. Personne n’applique encore sa méthode à la lettre après avoir vu son compte fondre ainsi.

Pourquoi ne prend-on qu’une fraction du critère de Kelly ?

Pour trois raisons, dont la dernière est la plus importante.

La croissance est plate près du sommet. Diviser la mise par deux ne coûte qu’un quart de la croissance, alors que cela divise par quatre environ la probabilité de voir le compte réduit de moitié. Peu de compromis offrent un tel rapport.

Les baisses sont humaines. La formule suppose un joueur imperturbable. Les traders réels réduisent, abandonnent ou doublent au mauvais moment ; la fiche après un gros drawdown en montre le coût.

L’espérance n’est jamais connue. Le critère de Kelly prend W et R pour des vérités ; le trader n’en a que des estimations, tirées de quelques dizaines ou centaines d’opérations. Supposons que la méthode, estimée à 50 % de réussite, n’en ait en réalité que 45 %, avec le même R = 1,5. Sa vraie fraction de Kelly tombe à 8,3 %. Le trader qui mise 16,7 % parie alors deux fois le vrai Kelly : sa croissance réelle est presque nulle, environ ×1,07 en 500 opérations, au prix de baisses vertigineuses. Celui qui avait pris le demi-Kelly de son estimation se trouve, sans le savoir, au vrai Kelly. Surestimer son avantage est la règle plutôt que l’exception ; c’est l’excès de confiance mis en chiffres.

Comment utiliser le critère de Kelly sans se ruiner ?

Comme un plafond, jamais comme une cible.

D’abord, la calculer avec des chiffres prudents : un taux de réussite inférieur de quelques points à l’historique, un ratio gain/perte amputé des frais et du glissement. Si le résultat est négatif ou proche de zéro, la question n’est plus la mise mais la méthode.

Ensuite, n’en prendre qu’une fraction. Le demi-Kelly suppose d’accepter de fortes baisses ; le quart de Kelly, ou moins, convient mieux à qui ne veut pas voir son compte réduit de moitié. Pour la méthode du tableau, la règle du 1 % correspond à environ un seizième de Kelly : moins de croissance, mais une plus forte baisse médiane de 11 %.

Enfin, vérifier l’effet cumulé : plusieurs positions ouvertes ensemble sur des marchés liés font un seul pari plus gros, comme le montre la fiche sur la corrélation. Et sur un compte de prop firm, où une baisse de quelques pour cent suffit à perdre le compte, c’est la limite de baisse qui décide, pas la croissance.

Ce que j’en dis sur le forum

« non ça dépend surtout de ton maximum drawdown si tu le doubles est ce qu’il n’y a pas un risque qu’il te coule ? Peu importe le % de gain par mois trimestres etc., ce qui compte c’est le maximum drawdown pour durer »

Benoist Rousseau sur le forum, le 13 septembre 2016, à un membre gagnant qui envisageait de doubler son risque par trade, de 1 % à 2 %

Quelles sont les limites du critère de Kelly ?

La formule suppose des opérations indépendantes, très nombreuses, aux probabilités connues. Les marchés offrent des pertes plus groupées que le hasard, parfois plus grosses que le stop (voir ce que le stop ne garantit pas), et des espérances qui changent avec le marché.

Elle suppose aussi que l’on ne recherche que la croissance à très long terme. Or un trader vit à horizon fini, avec des besoins, des échéances et un moral. Paul Samuelson a contesté, notamment dans un court article de 1979 dont le titre n’emploie que des mots d’une syllabe, que maximiser le logarithme du capital soit le bon objectif pour tout le monde ; l’objection est sérieuse et reste discutée. Ce qui fait consensus, c’est l’autre face du résultat : miser au-delà de Kelly est une erreur pour tous, puisque l’on prend plus de risque pour moins de croissance.

Le critère de Kelly ne dit donc pas combien risquer. Il dit combien ne jamais dépasser.

Questions fréquentes sur le critère de Kelly

Quelle est la formule du critère de Kelly en trading ?

Fraction de Kelly = W − (1 − W) ÷ R, où W est le taux de réussite et R le gain moyen divisé par la perte moyenne. Avec 50 % de réussite et R = 1,5, elle vaut 16,7 % du capital risqué par opération.

Pourquoi utiliser le demi-Kelly ?

Parce qu’il garde environ 75 % de la croissance maximale en réduisant fortement les baisses : dans notre simulation, la probabilité de perdre la moitié du compte tombe de 46 % à 12 %. Il protège aussi d’une espérance surestimée.

Que se passe-t-il si l’on mise deux fois le critère de Kelly ?

La croissance à long terme tombe à zéro, et le capital subit des baisses quasi totales. Au-delà, le capital décroît même avec une méthode gagnante.

Le critère de Kelly marche-t-il avec une méthode perdante ?

Il donne alors une fraction négative, ce qui signifie qu’il ne faut pas trader cette méthode. Aucune mise ne rend gagnante une espérance négative.

Le critère de Kelly est-il compatible avec la règle du 1 % ?

Oui : pour une méthode à 50 % de réussite et R = 1,5, risquer 1 % revient à prendre environ un seizième de Kelly.

Sources de référence utilisées

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• John L. Kelly Jr., « A New Interpretation of Information Rate », Bell System Technical Journal, vol. 35, n° 4, juillet 1956, p. 917-926.
• Leonard C. MacLean, Edward O. Thorp et William T. Ziemba, « Long-term capital growth : the good and bad properties of the Kelly and fractional Kelly capital growth criteria », Quantitative Finance, vol. 10, n° 7, 2010, p. 681-687.
• Claude E. Shannon, « A Mathematical Theory of Communication », Bell System Technical Journal, vol. 27, 1948.
• Paul A. Samuelson, « Why we should not make mean log of wealth big though years to act are long », Journal of Banking and Finance, vol. 3, n° 4, 1979, p. 305-307.
• William Poundstone, Fortune’s Formula, Hill and Wang, 2005.
• Tableaux et graphique : formule de Kelly et simulations de Monte-Carlo andlil.com (10 000 tirages de 500 opérations par niveau de risque ; croissance par opération = W × ln(1 + R × f) + (1 − W) × ln(1 − f)).

Pour aller plus loin

Probabilité de ruine : ce que risque vraiment un traderLa même méthode simulée sous l’angle de la ruine.Le guide de la gestion du risqueStop, taille de position et money management

• Fraction fixe, ratio fixe, f optimal : les méthodes de dimensionnement comparées, où le critère de Kelly retrouve son cousin, le f optimal.
• Pourquoi la martingale mène-t-elle à la ruine ?, l’opposé exact de Kelly : miser plus quand on perd.
• Edward Thorp : biographie, méthode et calcul du professeur qui battit le casino, le premier à avoir appliqué Kelly au jeu puis aux marchés.