Théorie de l’utilité escomptée : psychologie du choix

Qu’est-ce que la théorie de l’utilité escomptée ?

La théorie de l’utilité escomptée a précédé la théorie des perspectives, qui la conteste et peut se résumer ainsi : les gens prennent des décisions en fonction de la manière dont leur est présenté un choix à faire et pas uniquement en fonction de critères rationnels.

Cette théorie de l’utilité escomptée fait entrer la personnalité de chacun dans le choix, à travers sa fonction d’utilité, c’est-à-dire son aversion au risque. Les notions de satisfaction du gain et de peur de la perte, proches de l’envie et du manque en psychanalyse, ont été formalisées plus tard, par la théorie des perspectives et les théories du regret. Ces deux notions, différentes pour chaque personne, influent en fait sur la prise de décision finale. La personnalité est donc au cœur du processus de choix dans la théorie de l’utilité escomptée.

Vidéo sur la théorie de l’utilité escomptée

Quelles notions nouvelles la théorie de l’utilité escomptée apporte-t-elle ?

• La satisfaction de gagner
• La peur de perdre

Par exemple, vous avez la possibilité d’investir dans une start-up avec un projet prometteur. Celui-ci peut vous rapporter un retour sur investissement très élevé.  Cependant, le risque de perte est important. Vous pouvez aussi placer votre argent dans une assurance vie avec un rendement plus faible, mais plus sécurisé. Votre choix ne dépendra pas seulement du rendement moyen, mais aussi de votre personnalité, c’est-à-dire de votre aversion au risque, ce que la théorie traduit par la forme de votre fonction d’utilité.

• Si vous êtes une personne qui ne supporte pas le risque, abandonnez le projet risqué et investissez dans une assurance vie.
• Si vous êtes une personne avec une faible aversion au risque et que vous supportez l’idée de pouvoir perdre de l’argent, alors investissez dans des projets ambitieux.

Ceci est le principe de base de la théorie de l’utilité escomptée, mais cette dernière va plus loin. John von Neumann et Oskar Morgenstern ont mis en évidence que d’autres facteurs existent.

Comment les préférences de l’individu influencent-elles ses choix ?

En effet, puisque le rendement escompté n’est plus le seul facteur influant sur la prise de décision, les préférences de celui qui décide influent également. Il est inutile de prendre beaucoup de risque, si on préfère dépenser peu, vivre avec un train de vie modeste. À l’inverse, un train de vie élevé, pourra encourager à prendre plus de risque lors de sa décision d’investissement.

Notre prise de décision dépendra donc de notre personnalité (appétence aux risques ou à la sécurité), de notre train de vie (quels sont vos besoins réels ?) et notre patrimoine (trading de rente ou trading d’accumulation ?). Ces trois éléments seront déterminants dans nos choix de vie et d’investissement… C’est pour cela qu’un choix rationnel pour un individu peut ne pas l’être pour un autre individu. Chacun étant unique, sa « rationalité » est différente face à un investissement.

Que retenir de la théorie de l’utilité escomptée ?

La théorie de l’utilité escomptée est antérieure à la théorie des perspectives, qui l’a contestée ; elle s’éclaire pourtant des notions de peur et de satisfaction. Cependant, en poussant un peu plus cette théorie dans ses retranchements, on se rend compte que le processus de choix n’est qu’en apparence rationnel. En effet, la satisfaction de gagner (l’envie) et la peur de perdre (la crainte du manque), que les théories plus récentes ont ajoutées à l’utilité escomptée, sont deux sentiments essentiellement pulsionnels.

La théorie de l’utilité escomptée en résumé

La théorie de l’utilité escomptée (on dit aussi « utilité espérée », en anglais expected utility) décrit la façon dont un individu rationnel choisit entre des options risquées. Il ne compare pas les gains moyens de chaque option : il compare la satisfaction moyenne qu’il en attend, chaque résultat possible étant pondéré par sa probabilité. Deux personnes peuvent donc faire, face au même risque, deux choix différents et tous deux rationnels.

Formalisée par von Neumann et Morgenstern dans les années 1940, elle précède la théorie des perspectives (1979), construite pour en corriger les limites.

Comment la théorie est-elle passée de Bernoulli à von Neumann et Morgenstern ?

En 1713, Nicolas Bernoulli décrit dans une lettre un jeu de pile ou face où le gain double à chaque lancer tant que pile ne sort pas. Le gain moyen de ce jeu est infini, et pourtant personne n’accepterait de payer une grosse somme pour y jouer : c’est le « paradoxe de Saint-Pétersbourg ». En 1738, son cousin Daniel Bernoulli propose une solution dans « Specimen theoriae novae de mensura sortis », publié dans les Commentaires de l’Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg : la satisfaction tirée de l’argent augmente moins vite que la somme elle-même. Bernoulli retient une utilité proportionnelle au logarithme de la richesse.

En 1944, le mathématicien John von Neumann et l’économiste Oskar Morgenstern publient Theory of Games and Economic Behavior (Princeton University Press), l’ouvrage fondateur de la théorie des jeux. Dans la deuxième édition (1947), ils démontrent un résultat décisif : si les préférences d’un individu respectent quatre règles de cohérence (il peut comparer toutes les options, ses préférences sont transitives, continues, et indépendantes des éléments communs à deux options), alors il se comporte comme s’il maximisait une utilité espérée.

Que dit la formule de l’utilité escomptée ?

Pour une option qui peut donner un résultat A avec la probabilité p, ou un résultat B avec la probabilité 1 − p, l’utilité escomptée vaut :

UE = p × u(A) + (1 − p) × u(B)

où u est la fonction d’utilité propre à chaque individu : elle traduit chaque résultat en satisfaction. Avec plus de deux résultats possibles, on additionne de la même façon chaque satisfaction multipliée par sa probabilité. C’est cette fonction qui porte la personnalité. Une fonction qui s’infléchit (chaque euro supplémentaire apporte moins de satisfaction que le précédent) décrit une personne qui a de l’aversion pour le risque ; une fonction droite, une personne indifférente au risque, qui ne regarde que le gain moyen.

Start-up ou placement sûr : l’utilité escomptée en chiffres

Reprenons l’exemple du texte ci-dessus, avec des chiffres hypothétiques. Imaginons que vous disposiez de 100 000 €.

• Le placement sûr vous laissera 104 000 € dans un an.
• La start-up vous laissera, avec une chance sur deux, 196 000 €, et sinon 36 000 €.

En moyenne, la start-up rapporte davantage : (196 000 + 36 000) / 2 = 116 000 €, contre 104 000 €. Un investisseur indifférent au risque la choisit.

Prenons maintenant un investisseur dont l’utilité est la racine carrée de sa richesse, comptée en milliers d’euros. La start-up lui procure une utilité escomptée de (√196 + √36) / 2 = (14 + 6) / 2 = 10. Le placement sûr lui procure √104, soit environ 10,2. Il choisit le placement sûr, alors même que son gain moyen est plus faible.

Pour lui, la start-up vaut exactement ce que vaut une somme certaine de 100 000 € (la racine carrée de 100 est 10) : c’est son équivalent certain. L’écart entre le gain moyen (116 000 €) et cet équivalent certain (100 000 €), soit 16 000 €, est sa prime de risque : ce qu’il faudrait lui offrir en plus pour qu’il accepte le pari. Aucun des deux n’est irrationnel : ils n’ont pas la même fonction d’utilité.

Satisfaction, peur et regret : quelle place dans l’utilité escomptée ?

Chez von Neumann et Morgenstern, la personnalité de l’investisseur passe tout entière par la forme de sa fonction d’utilité, donc par son aversion au risque. Un résultat y est jugé d’après la richesse finale à laquelle il conduit, et non comme un gain ou une perte par rapport à un point de départ.

Les émotions décrites dans le texte ci-dessus ont été formalisées par la suite. La théorie des perspectives (1979) mesure gains et pertes par rapport à un point de référence et montre qu’une perte pèse plus lourd qu’un gain de même montant. En 1982, Graham Loomes et Robert Sugden d’une part (Economic Journal), David Bell d’autre part (Operations Research), proposent des théories du regret : on choisit aussi en anticipant ce que l’on ressentira si l’option écartée se révèle meilleure.

Quelles critiques vise la théorie de l’utilité escomptée ?

Le paradoxe d’Allais. En 1953, Maurice Allais publie dans Econometrica « Le comportement de l’homme rationnel devant le risque : critique des postulats et axiomes de l’école américaine ». Dans sa présentation la plus connue, on propose d’abord de choisir entre 1 million certain et un pari donnant 5 millions avec 10 % de chances, 1 million avec 89 % et rien avec 1 %. La plupart des gens prennent le million certain. On propose ensuite de choisir entre 11 % de chances de gagner 1 million et 10 % de chances d’en gagner 5. La plupart prennent la seconde option. Or ces deux choix, pris ensemble, sont incompatibles avec la théorie, quelle que soit la fonction d’utilité : la certitude a un attrait que la formule ne capte pas. Allais reçoit le prix Nobel d’économie en 1988.

La défense. Les partisans de la théorie répondent qu’elle est d’abord normative : elle dit comment choisir si l’on veut être cohérent, pas comment chacun choisit spontanément. Leonard Savage lui-même, confronté aux choix d’Allais, avait d’abord répondu comme la majorité, avant de conclure, à la réflexion, qu’il avait commis une erreur. La théorie reste l’outil standard de l’assurance et de la finance ; la théorie des perspectives sert à comprendre les écarts.

Que change la théorie de l’utilité escomptée pour un investisseur ou un trader ?

La théorie explique pourquoi les actifs risqués doivent, en moyenne, rapporter plus que les placements sûrs : des investisseurs qui ont de l’aversion pour le risque n’acceptent de le porter que contre une prime. Elle rappelle aussi qu’un pari favorable en moyenne peut être un mauvais choix s’il expose à une perte insupportable.

Le lien le plus direct avec le trading est le critère de Kelly. En 1956, John Kelly publie « A New Interpretation of Information Rate » (Bell System Technical Journal) : sa règle de dimensionnement des mises maximise l’espérance du logarithme de la richesse, c’est-à-dire l’utilité escomptée d’un investisseur dont la fonction d’utilité est celle de Daniel Bernoulli. Elle conduit à n’engager qu’une fraction de son capital, jamais la totalité tant qu’une perte reste possible, même quand l’avantage paraît net.

Questions fréquentes sur la théorie de l’utilité escomptée